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As novas estações de trem

As novas estações de trem

Em cada estação de uma rede ferroviária, são vendidos tantos bilhetes diferentes quanto as estações para as quais você pode ir ou de onde pode vir (os bilhetes de ida e volta são diferentes). Inauguradas várias novas estações, o que obriga a imprimir 34 novos bilhetes diferentes.

Quantas estações havia e quantas novas foram inauguradas?

Solução

Primeiro, tentamos encontrar uma relação entre o número de estações e bilhetes que podem ser impressos.

Estações Bilhetes diferentes
2 2
3 6
4 12
5 20
6 30
n n (n-1)

Se chamarmos n ao número de estações que foram inicialmente e x para as novas estações abertas, temos que:

Estações Bilhetes diferentes
Antes de n n (n-1)
Depois n + x (n + x) (n + x-1)

Onde concluímos que:
(n + x) (n + x-1) -n (n-1) = 34

Simplificamos a equação até obter o seguinte:
x (2n + x-1) = 34

Se o produto de ambos os termos for igual a trinta e quatro, teremos duas possibilidades:
X = 1 y (2n + x-1) = 34
X = 2 y (2n + x-1) = 17

Como a linha possui várias estações novas, resta a segunda opção, onde n = 8 ex = 2. Portanto havia 8 estações e 2 novas estações foram abertas.