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Limites de inclinação e curtose de QI

Limites de inclinação e curtose de QI

A questão de saber se o QI é normalmente distribuído ou, em vez disso, segue, por exemplo, uma distribuição de Pearson tipo IV, tem sido debatida pelo menos desde a década de 1910. As definições baseadas em quocientes e desvios dão origem a épocas muito diferentes nesse debate, é claro. (No entanto, a distribuição de um QI de valor inteiro não pode ser exatamente Normal, mesmo em uma definição baseada em desvio.) Uma distribuição normal é caracterizada exclusivamente por sua média $ mu $ e desvio padrão $ sigma $. Seus próximos dois momentos são a inclinação $ gamma_1 = 0 $ e excesso de curtose $ kappa_ text {excesso} = 0 $. Para esclarecer a ambigüidade, eu defini

$$ gamma_1 = mathbb {E} bigg ( tfrac {X- mu} { sigma} bigg) ^ 3, , kappa_ text {excesso}: = mathbb {E} bigg ( tfrac {X- mu} { sigma} bigg) ^ 4-3. $$

Em contraste, uma distribuição de Pearson tipo IV requer que todos os quatro momentos sejam especificados.

Embora não possamos provar literalmente $ gamma_1 = kappa_ text {excesso} = 0 $ empiricamente, podemos restringir tais quantidades. Algum estudo empírico forneceu limites superiores ou inferiores sobre esses momentos da distribuição de QI (ou algo análogo, como outra quantificação estimando psicométrica $ g $), na definição de quociente ou desvio? No interesse de manter essa questão apropriada para o site, não me importa qual método de definição ou medição de QI foi assumido em um estudo específico, portanto, não há necessidade de tomar uma posição quanto a isso.


Existem estudos onde são analisados ​​momentos de ordem superior. Vejo logo de cara (Johnson, Carothers, Deary, 2008). O objetivo real deste estudo foi examinar a Hipótese da Maior Variabilidade Masculina (com a qual os dados foram considerados fortemente consistentes), no entanto, eles também analisaram as distribuições de habilidade de forma mais geral. Eles analisam os dados do Scottish Mental Survey, que testou essencialmente todas as crianças da Escócia de uma determinada idade. Eles descobrem que a distribuição é definitivamente assimétrica com mais pessoas abaixo da moda. Aqui está a parte relevante do resumo:

… No entanto, é rara a análise clara da distribuição real da inteligência geral com base em amostras grandes e apropriadamente representativas da população. Usando duas pesquisas de inteligência geral em toda a população em 11 anos de idade na Escócia, mostramos que houve desvios substanciais da normalidade na distribuição, com menos variabilidade na faixa superior do que na inferior. Apesar das pontuações médias da escala de QI de 100, as pontuações modais foram de cerca de 105 ... Isso é consistente com um modelo da distribuição populacional da inteligência geral como uma mistura de duas distribuições essencialmente normais, uma refletindo a variação normal na inteligência geral e outra refletindo a variação normal na efeitos de condições genéticas e ambientais envolvendo retardo mental.

Veja o estudo para uma discussão mais aprofundada sobre curtose e assimetria. Eles também fazem referência a outros estudos que você pode considerar valiosos.


Uma resposta é que, uma vez que $ g $ não existe realmente como uma entidade biológica unidimensional (em vez disso, é uma sopa quase infinita de DNA herdado e experiências de vida acumuladas), a questão de sua distribuição univariada é discutível.


& # 8216s & # 8217 Posse e & # 8216de & # 8217 Posse

Os substantivos possessivos são usados ​​de maneiras diferentes para expressar significados diferentes. Os usos mais comuns são expressando

  1. Posse ou propriedade: o cachorro da família.
  2. Associação: escritório do Arqueiro,
  3. Ação: a determinação de Lana em atirar em Archer.
  4. Medição: O atraso do trem,
  5. Características de algo: cabelo preto de Lana.

Freqüentemente, a preposição 'de' pode servir como uma alternativa para os possessivos 's'. Como eu disse em meus artigos anteriores, o formato de frase repetitivo torna sua escrita maçante. Portanto, é uma boa ideia alternar entre 's' e 'possessivo'do' possessivos. Para fazer isso, primeiro precisamos saber quando podemos usar os possessivos "de" da maneira certa.

  1. Posse: Para expressar propriedade, é sempre preferível usar o possessivo. Por exemplo, ‘Archer’s gun’ é preferível a ‘The gun of Archer,
  2. Associações: Quando o substantivo possessivo é animado, sempre são possessivos. Por exemplo. Mãe de Archer, bebê de Lana, namorada holográfica de Kriger. Mas quando o substantivo possessivo é inanimado, tanto os possessivos quanto os possessivos podem ser usados. Por exemplo. Área da universidade, Área da universidade.
  3. Atribuição: Como no caso da associação, aqui também use apenas os possessivos para substantivos animados. Para substantivos inanimados, tanto os possessivos 's' quanto os possessivos 'de' podem ser usados.

Por exemplo: cabelo branco de Danny. (Animate Possessive Noun) A garagem da universidade. (Substantivo Possessivo Inanimado) A garagem da universidade. (Substantivo Possessivo Inanimado)

  • 4. Medição de ação e amplificação: Você pode usar as posses 's' e 'de' para declarar a ação de alguém.

“A violência de vingança de Archer por seu mordomo” ou “A violência de vingança de Archer por seu mordomo”
Da mesma forma, para expressar a medição, ambos os tipos de bens podem ser usados.
& # 8220A taxa crescente da cebola deixou as pessoas muito chateadas. & # 8221 (posses de 's')

& # 8221 O aumento da quantidade de cebola deixou as pessoas muito chateadas. & # 8221 ('de' possessões.)

Referência: Lester, M. (2011). Gramática avançada de inglês para alunos de ESL. Nova York: McGraw-Hill.


Simetria, assimetria e curtose

Nós consideramos uma variável aleatória x e um conjunto de dados S = <x1, x2,…, Xn> do tamanho n que contém valores possíveis de x. O conjunto de dados pode representar a população em estudo ou uma amostra retirada da população.

Olhando para S como representando uma distribuição, o distorção do S é uma medida de simetria enquanto curtose é uma medida do pico dos dados em S.

Simetria e assimetria

Definição 1: Nós usamos distorção como medida de simetria. Se a distorção de S é zero, então a distribuição representada por S é perfeitamente simétrico. Se a assimetria for negativa, a distribuição será inclinada para a esquerda, enquanto se a inclinação for positiva, a distribuição será inclinada para a direita (veja um exemplo na Figura 1 abaixo).

O Excel calcula a assimetria de uma amostra S do seguinte modo:

Onde é a média e s é o desvio padrão de S. Para evitar a divisão por zero, esta fórmula requer que n & gt 2.

Observação: Quando uma distribuição é simétrica, a média = mediana, quando a distribuição é distorcida positivamente a média & gt mediana e quando a distribuição é distorcida negativamente a média & lt mediana.

Função Excel: Excel fornece o SKEW funcionam como uma forma de calcular a assimetria de S, ou seja, se R for um intervalo no Excel contendo os elementos de dados em S então SKEW (R) = a assimetria de S.

Função Excel 2013: Há também uma versão populacional da assimetria dada pela fórmula

Esta versão foi implementada no Excel 2013 usando a função, SKEW.P.

Acontece que para o intervalo R consistindo nos dados em S = <x1, …, xn>, SKEW.P (R) = SKEW (R) * (n–2) / SQRT (n(n–1)) onde n = CONTAGEM (R).

Função de estatísticas reais: Alternativamente, você pode calcular a assimetria da população usando o SKEWP(R), que está contida no Real Statistics Resource Pack.

Exemplo 1: Suponha S = <2, 5, -1, 3, 4, 5, 0, 2>. A distorção de S = -0,43, ou seja, SKEW (R) = -0,43 onde R é um intervalo em uma planilha do Excel contendo os dados em S. Uma vez que este valor é negativo, a curva que representa a distribuição é inclinada para a esquerda (ou seja, a parte mais larga da curva está à direita). Também SKEW.P (R) = -0,34. Veja a Figura 1.

Figura 1 - Exemplos de assimetria e curtose

Observação: SKEW (R) e SKEW.P (R) ignoram todas as células vazias ou células com valores não numéricos.

Definição 2: Curtose fornece uma medição sobre as extremidades (ou seja, caudas) da distribuição de dados e, portanto, fornece uma indicação da presença de outliers.

O Excel calcula a curtose de uma amostra S do seguinte modo:

Onde é a média e s é o desvio padrão de S. Para evitar a divisão por zero, esta fórmula requer que n & gt 3.

Observação: É comum pensar que a curtose fornece uma medida de pico (ou achatamento), mas isso não é verdade. A curtose pertence às extremidades e não ao centro de uma distribuição.

Função Excel: Excel fornece o KURT funcionam como uma forma de calcular a curtose de S, ou seja, se R for um intervalo no Excel contendo os elementos de dados em S então KURT (R) = a curtose de S.

Observação: A curtose da população é calculada por meio da fórmula

que pode ser calculado no Excel por meio da fórmula

Função de estatísticas reais: O Excel não fornece uma função de curtose de população, mas você pode usar a seguinte função de Estatísticas Reais para esta finalidade:

KURTP(R, excesso) = curtose da distribuição para a população no intervalo R1. Se excesso = TRUE (padrão), então 3 é subtraído do resultado (a abordagem usual para que uma distribuição normal tenha curtose igual a zero).

Exemplo 2: Suponha S = <2, 5, -1, 3, 4, 5, 0, 2>. A curtose de S = -0,94, ou seja, KURT (R) = -0,94 onde R é um intervalo em uma planilha do Excel contendo os dados em S. A curtose da população é -1,114. Veja a Figura 1.

Observação: KURT (R) ignora todas as células vazias ou células com valores não numéricos.

Ilustração Gráfica

Agora veremos um exemplo desses conceitos usando a distribuição qui-quadrado.

Figura 2 - Exemplo de assimetria e curtose

A Figura 2 contém os gráficos de duas distribuições de qui-quadrado (com diferentes graus de liberdade df) Estudamos a distribuição do qui-quadrado em outro lugar, mas por enquanto observamos os seguintes valores para curtose e assimetria:


3 respostas 3

ouvi [. ] que uma curtose positiva alta de resíduos pode ser problemática para testes de hipótese e intervalos de confiança precisos (e, portanto, problemas com inferência estatística). Isso é verdade e, em caso afirmativo, por quê?

Para alguns tipos de teste de hipótese, é verdade.

Uma curtose positiva alta de resíduos não indicaria que a maioria dos resíduos está perto da média residual de 0 e, portanto, menos resíduos grandes estão presentes?

Parece que você está confundindo o conceito de variação com o de curtose. Se a variância fosse menor, então uma tendência a mais resíduos pequenos e menos resíduos grandes surgiria. Imagine que mantemos o desvio padrão constante enquanto alteramos a curtose (portanto, estamos definitivamente falando sobre mudanças na curtose, e não na variância).

Compare diferentes variações (mas a mesma curtose):

com curtose diferente, mas a mesma variação:

Uma curtose alta está em muitos casos associada a mais pequenos desvios da média $ ^ ddagger $ - mais resíduos pequenos do que você encontraria com uma distribuição normal .. mas para manter o desvio padrão no mesmo valor, devemos também ter mais grande resíduos (porque ter mais resíduos pequenos tornaria a distância típica da média menor). Para obter mais dos resíduos grandes e pequenos, você terá menos resíduos de "tamanho típico" - aqueles a cerca de um desvio padrão da média.

$ ddagger $ depende de como você define "pequenez", você não pode simplesmente adicionar muitos resíduos grandes e manter a variância constante, você precisa de algo para compensar isso - mas para alguns dado medida de "pequena", você pode encontrar maneiras de aumentar a curtose sem aumentar essa medida específica. (Por exemplo, curtose mais alta não implica automaticamente em um pico mais alto como tal)

Uma curtose mais alta tende a ter mais resíduos grandes, mesmo quando você mantém a variância constante.

[Além disso, em alguns casos, a concentração de pequenos resíduos pode realmente causar mais problemas do que a fração adicional dos maiores resíduos - dependendo do que você está olhando.]

De qualquer forma, vamos ver um exemplo. Considere um teste t de uma amostra e um tamanho de amostra de 10.

Se rejeitarmos a hipótese nula quando o valor absoluto da estatística t for maior que 2.262, então quando as observações forem independentes, distribuídas de forma idêntica a partir de uma distribuição normal, e a média hipotética for a verdadeira média da população, rejeitaremos o valor nulo hipótese 5% do tempo.

Considere uma distribuição particular com curtose substancialmente maior do que o normal: 75% da nossa população tem seus valores extraídos de uma distribuição normal e os 25% restantes têm seus valores extraídos de uma distribuição normal com desvio padrão 50 vezes maior.

Se eu calculei corretamente, isso corresponde a uma curtose de 12 (um excesso de curtose de 9). A distribuição resultante é muito mais pontiaguda do que o normal e tem caudas pesadas. A densidade é comparada com a densidade normal abaixo - você pode ver o pico mais alto, mas você não pode realmente ver a cauda mais pesada na imagem à esquerda, então eu também plotei o logaritmo das densidades, que estende a parte inferior de a imagem e comprime o topo, facilitando a visualização do pico e da cauda.

o real O nível de significância para esta distribuição se você realizar um teste t de "5%" de uma amostra com $ n = 10 $ está abaixo de 0,9%. Isso é bastante dramático e reduz a curva de potência de forma bastante substancial.

(Você também verá um efeito substantivo na cobertura dos intervalos de confiança.)

Observe que uma distribuição diferente com a mesma curtose que terá um impacto diferente no nível de significância.

Então, por que a taxa de rejeição cai? É porque a cauda mais pesada leva a alguns outliers grandes, o que tem impacto ligeiramente maior no desvio padrão do que na média, isso afeta a estatística t porque leva a mais valores t entre -1 e 1, no processo reduzindo a proporção de valores na região crítica.

Se você pegar uma amostra que parece bastante consistente por ter vindo de uma distribuição normal cuja média está longe o suficiente acima da média hipotética que é significativa, e então você pega a observação mais acima da média e a puxa ainda mais para longe (isto é, tornar a média ainda maior do que abaixo de $ H_0 $), você realmente faz a estatística t menor.

Deixe-me te mostrar. Aqui está uma amostra de tamanho 10:

Imagine que queremos testá-lo em relação a $ H_0: mu = 2 $ (um teste t de uma amostra). Acontece que a média da amostra aqui é 2,68 e o desvio padrão da amostra é 0,9424. Você obtém uma estatística t de 2,282 - apenas na região de rejeição para um teste de 5% (valor p de 0,0484).

Agora faça esse maior valor 50:

Claramente puxamos a média para cima, então deve indicar uma diferença ainda mais do que antes, certo? Bem, não, não importa. A estatística t vai baixa. Agora é 1,106, e o valor p é bastante grande (perto de 30%). O que aconteceu? Bem, aumentamos a média (para 7,257), mas o desvio padrão disparou para mais de 15.

Os desvios padrão são um pouco mais sensíveis aos valores discrepantes do que as médias - quando você insere um valor discrepante, tende a empurrar a estatística t de uma amostra para 1 ou -1.

Se houver uma chance de vários outliers, quase o mesmo acontece, só que às vezes podem estar em lados opostos (nesse caso, o desvio padrão é ainda mais inflado enquanto o impacto na média é reduzido em comparação com um outlier), então a estatística t tende a se aproximar de 0.

Coisas semelhantes acontecem com uma série de outros testes comuns que assumem normalidade - curtose mais alta tende a ser associada a caudas mais pesadas, o que significa mais valores discrepantes, o que significa que os desvios padrão são inflados em relação às médias e, portanto, as diferenças que você deseja pegar tendem ficar "inundado" pelo impacto dos outliers no teste. Ou seja, baixo consumo de energia.


Discussão

Os erros padrão tradicionais de assimetria e curtose impressos por muitos pacotes de estatísticas são muito pobres. Embora sejam apropriados para distribuições normais, desvios da normalidade, como um t distribuição com df = 5 ou uma mistura de duas curvas normais com diferentes desvios padrão, produz erros padrão que podem ser 5 vezes menores. Como as distribuições normais são raras em psicologia (Micceri, 1989), a prática de encorajar o uso de erros padrão que apresentam erros grosseiros com desvios da normalidade, imprimindo-os em pacotes de estatísticas, deve ser interrompida. A função, escrita para este artigo, produz os erros padrão de bootstrap, intervalos de confiança BCa e erros padrão, que levam em consideração as características das distribuições.

Uma questão é se os erros padrão tradicionais podem ser usados ​​se você estiver usando apenas para testar se a distribuição é normal. Essa abordagem não é recomendada por pelo menos dois motivos. Primeiro, existem vários testes melhores projetados para testar a normalidade, como o teste de Shapiro e Wilk (1965), e estão disponíveis em muitos pacotes de estatísticas. Testar assimetria e curtose, individualmente, é problemático porque elas são dependentes uma da outra, então, ao invés de simplesmente seguir a abordagem dos livros, testes como o teste de D'Agostino (D'Agostino, Belanger, & amp D'Agostino, 1990) poderiam ser usados. Em segundo lugar, como os erros padrão tradicionais subestimam e superestimam os erros padrão verdadeiros, você não saberia se o teste estatístico era liberal ou conservador sem adivinhar a distribuição. Um método para adivinhar a distribuição é fazer milhares de reamostragens da distribuição observada, que é o que o bootstrapping faz.

Os problemas com os erros padrão apresentados neste artigo são devidos ao uso do terceiro e quarto momentos para calcular a assimetria e curtose. Estes são muito sensíveis a desvios nas caudas das distribuições e não são sensíveis a desvios nos picos das distribuições (Lindsay & amp Basak, 2000). Seier e Bonett (2003) discutiram fórmulas que permitem ao usuário variar a influência relativa dos desvios nas caudas e no pico de uma distribuição, mas não são comumente utilizadas. A transformação descrita por Anscombe e Glynn (1983) também pode ser usada. Uma função que usa isso é descrita no Apêndice, mas também não é amplamente usada. Se a assimetria e a curtose forem operacionalizadas de outras maneiras, o impacto dos pontos extremos pode ser reduzido. Balanda e MacGillivray (1988) discutiram várias maneiras pelas quais quartis poderiam ser usados ​​para operacionalizar essas estatísticas que seriam menos influenciadas por pontos extremos. Um dos mais promissores é eu-moments (Hosking, 1992). Hosking mostra como as medidas de assimetria e curtose baseadas nelas são mais consistentes com o teste de normalidade de Shapiro-Wilk. Eles podem ser ajustados, por exemplo, por corte, o que aumenta ainda mais sua robustez (Elamir & amp Seheult, 2003). Com o tempo, esses métodos alternativos podem se tornar mais populares, mas mudar drasticamente as estatísticas para medi-los também mudaria o significado de assimetria e curtose. Portanto, é improvável que essas alternativas se espalhem no futuro próximo.

As principais recomendações deste artigo são que os pesquisadores devem ter cuidado ao usar medidas tradicionais de erro padrão para assimetria e curtose. Podem ser usados ​​intervalos de confiança de bootstrap, mas os pesquisadores devem estar cientes de que ainda podem estar incorretos. Para testar se uma distribuição tem uma determinada forma, testes projetados especificamente para esse propósito devem ser usados. Métodos baseados em transformações dos momentos e eu-momentos devem ser considerados.


Limites de inclinação e curtose de IQ - Psicologia

A assimetria é uma medida de simetria, ou mais precisamente, a falta de simetria. Uma distribuição, ou conjunto de dados, é simétrica se tiver a mesma aparência à esquerda e à direita do ponto central.

A curtose é uma medida para determinar se os dados têm cauda pesada ou cauda leve em relação a uma distribuição normal. Ou seja, conjuntos de dados com curtose alta tendem a ter caudas pesadas ou outliers. Conjuntos de dados com curtose baixa tendem a ter caudas claras ou falta de outliers. Uma distribuição uniforme seria o caso extremo.

A assimetria para uma distribuição normal é zero e quaisquer dados simétricos devem ter uma assimetria próxima de zero. Valores negativos para a assimetria indicam dados que estão inclinados para a esquerda e valores positivos para a assimetria indicam dados que estão inclinados para a direita. Por inclinado para a esquerda, queremos dizer que a cauda esquerda é longa em relação à cauda direita. Da mesma forma, inclinado para a direita significa que a cauda direita é longa em relação à esquerda. Se os dados forem multimodais, isso pode afetar o sinal de assimetria.

Algumas medidas têm um limite inferior e são inclinadas para a direita. Por exemplo, em estudos de confiabilidade, os tempos de falha não podem ser negativos.

A definição de curtose usada é uma questão de convenção (este manual usa a definição original). Ao usar o software para calcular a curtose de amostra, você precisa estar ciente de qual convenção está sendo seguida. Muitas fontes usam o termo curtose quando, na verdade, estão calculando "curtose excessiva", por isso pode nem sempre estar claro. Exemplos O exemplo a seguir mostra histogramas para 10.000 números aleatórios gerados a partir de uma distribuição normal, exponencial dupla, Cauchy e Weibull.

Distribuição normal O primeiro histograma é uma amostra de uma distribuição normal. A distribuição normal é uma distribuição simétrica com caudas bem comportadas. Isso é indicado pela assimetria de 0,03. A curtose de 2,96 está próxima do valor esperado de 3. O histograma verifica a simetria. Distribuição Exponencial Dupla O segundo histograma é uma amostra de uma distribuição exponencial dupla. O exponencial duplo é uma distribuição simétrica. Em comparação com o normal, tem um pico mais forte, decadência mais rápida e caudas mais pesadas. Ou seja, esperaríamos uma assimetria próxima de zero e uma curtose maior que 3. A assimetria é 0,06 e a curtose é 5,9. Distribuição Cauchy O terceiro histograma é uma amostra de uma distribuição de Cauchy.

Para melhor comparação visual com os outros conjuntos de dados, restringimos o histograma da distribuição de Cauchy a valores entre -10 e 10. O conjunto de dados completo para os dados de Cauchy na verdade tem um mínimo de aproximadamente -29.000 e um máximo de aproximadamente 89.000.

A distribuição de Cauchy é uma distribuição simétrica com caudas pesadas e um único pico no centro da distribuição. Como é simétrico, esperaríamos uma assimetria próxima de zero. Devido às caudas mais pesadas, podemos esperar que a curtose seja maior do que para uma distribuição normal. Na verdade, a assimetria é 69,99 e a curtose é 6.693. Esses valores extremamente altos podem ser explicados pelas caudas pesadas. Assim como a média e o desvio padrão podem ser distorcidos por valores extremos nas caudas, o mesmo ocorre com as medidas de assimetria e curtose. Distribuição Weibull O quarto histograma é uma amostra de uma distribuição Weibull com parâmetro de forma 1.5. A distribuição Weibull é uma distribuição enviesada com a quantidade de assimetria dependendo do valor do parâmetro de forma. O grau de degradação conforme nos afastamos do centro também depende do valor do parâmetro de forma. Para este conjunto de dados, a assimetria é 1,08 e a curtose é 4,46, o que indica assimetria e curtose moderadas. Lidando com assimetria e curtose Muitos testes estatísticos clássicos e intervalos dependem de suposições de normalidade. A assimetria e curtose significativas indicam claramente que os dados não são normais. Se um conjunto de dados exibir assimetria ou curtose significativa (conforme indicado por um histograma ou pelas medidas numéricas), o que podemos fazer a respeito?

Uma abordagem é aplicar algum tipo de transformação para tentar tornar os dados normais ou quase normais. A transformação Box-Cox é uma técnica útil para tentar normalizar um conjunto de dados. Em particular, obter o log ou a raiz quadrada de um conjunto de dados geralmente é útil para dados que exibem assimetria correta moderada.


Por que a curva normal é tão importante nos testes psicológicos

No teste, o modelo de curva normal é usado de maneiras paralelas à distinção entre estatísticas descritivas e inferenciais:

1. O modelo de curva normal é usado descritivamente para localizar a posição das pontuações que vêm de distribuições normais. Em um processo conhecido como normalização, descrito no Capítulo 3, a curva normal também é usada para fazer distribuições que não são normais - mas se aproximam do normal - em conformidade com o modelo, em termos das posições relativas das pontuações.

2. O modelo de curva normal é aplicado inferencialmente nas áreas de (a) confiabilidade, para derivar intervalos de confiança para avaliar as pontuações obtidas e as diferenças entre as pontuações obtidas (ver Capítulo 4), e (b) validade, para derivar intervalos de confiança para previsões ou estimativas baseadas em pontuações de testes (consulte o Capítulo 5).

modelo. A maneira e a extensão em que se desviam dela tem implicações no que diz respeito à quantidade de informações que as distribuições transmitem. Um caso extremo pode ser ilustrado pela distribuição que resultaria se todos os valores em um conjunto de dados ocorressem com a mesma frequência. Tal distribuição, que seria de forma retangular, não implicaria em nenhuma diferença na probabilidade de ocorrência de qualquer valor dado e, portanto, não seria útil na tomada de decisões com base no que quer que esteja sendo medido.

Um tipo diferente e mais plausível de desvio do modelo de curva normal ocorre quando as distribuições têm dois ou mais modos. Se a distribuição for bimodal ou multimodal, deve-se considerar a possibilidade de problemas de amostragem ou características especiais da amostra. Por exemplo, uma distribuição de notas de classe em que as frequências de pico ocorrem nas notas de A e D, com muito poucas notas B ou C, pode significar que os alunos da classe são atípicos de alguma forma ou que pertencem a grupos que diferem significativamente na preparação, motivação ou nível de habilidade. Naturalmente, informações dessa natureza quase sempre teriam implicações importantes no caso deste exemplo, pois poderiam levar um professor a dividir a classe em seções e usar diferentes abordagens pedagógicas com cada uma.

Duas outras maneiras pelas quais as distribuições podem se desviar do modelo de curva normal carregam implicações significativas que são relevantes para os dados de teste. Esses desvios pertencem às propriedades de curtose e assimetria das distribuições de frequência.

Curtose

Este termo um tanto estranho, que deriva da palavra grega para convexidade, simplesmente se refere ao achatamento ou pico de uma distribuição. A curtose está diretamente relacionada à quantidade de dispersão em uma distribuição. As distribuições platicúrticas têm a maior quantidade de dispersão, manifestada em caudas que são mais estendidas, e as distribuições lep-tokúrticas têm a menor. A distribuição normal é mesocúrtica, o que significa que possui um grau de dispersão intermediário.


Você pode gostar também

A curtose não mede nada sobre o & quotpico & quot, como foi relatado historicamente. Em vez disso, é uma medida para saber se há outliers (ou seja, valores extremos raros) nos dados. Eles aparecem nos gráficos como um ou poucos pontos que estão muito distantes do corpo principal dos dados. anon342994 26 de julho de 2013

Alguém pode me ajudar a entender a distribuição distorcida da minha apresentação. Não consigo entender sobre gráficos.

Na minha aula de estatísticas de hoje, o professor mencionou que as curvas podem ter diferentes níveis de assimetria e curtose. Ela não entrou em nenhum detalhe real explicando o que é isso, especialmente curtose.

Alguém poderia me dar uma breve explicação para me ajudar a apontar na direção certa sobre o que significa curtose? titans62 14 de julho de 2011

@ cardsfan27 - Ótimos exemplos. Não sei por que não consegui pensar nisso. Quando eu estava pensando em algo como população que teria uma distribuição distorcida correta. Há muito mais jovens do que velhos. Acho que outra coisa poderia ser o tamanho de árvores em uma floresta. Existem centenas de mudas e mudas para cada árvore que está totalmente crescida.

Fiz mais pesquisas sobre as curvas com dois pontos altos. Eles são chamados de distribuições bimodais. Todos os exemplos que encontrei eram semelhantes ao seu e envolviam altura ou peso. Eu estaria interessado em ouvir mais sobre eles, no entanto. cardsfan27 13 de julho de 2011

@ titans62 - Estou tendo o problema oposto! Só consigo pensar em coisas que têm uma distribuição normal, mas não estão distorcidas. Algumas das coisas que estou pensando que seriam uma forma normal de sino são a altura e o peso da população. As pontuações dos testes também são um exemplo estereotipado da curva em sino.

Sua segunda pergunta me deixou perplexo por alguns minutos, mas acho que tenho um exemplo. Isso pode ser um pouco rebuscado, mas talvez outra pessoa tenha um melhor. Se você pegasse 25 homens e 25 mulheres, e então pegasse seus pesos. Você pode presumir que os homens vão pesar mais, em média, do que as mulheres, então, se você representar os pesos graficamente, poderá descobrir que as mulheres atingem um pico mais baixo na balança e os homens um pico mais acima. Espero que tenha feito sentido. titans62 13 de julho de 2011

Alguém pode me ajudar - eu entendo como é uma curva em forma de sino, mas por alguma razão, não consigo pensar em nada que tenha esse formato. Tudo em que estou pensando teria uma distribuição enviesada, onde uma cauda era mais longa do que a outra.

Outra questão relacionada - seria possível que uma curva tivesse dois pontos altos em comparação com a curva que sobe e desce em uma curva normal? Emilski 12 de julho de 2011

Parece contra-intuitivo que uma distribuição distorcida positivamente teria uma cauda indo para a direita. Eu teria imaginado que o positivo e o negativo eram determinados por onde estava o ponto mais alto da curva.


Limites de inclinação e curtose de IQ - Psicologia

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Uso de conjuntos de dados secundários para compreender as pessoas com deficiência de desenvolvimento e suas famílias

4.1 Curtose e enviesamento

Medidas de curtose e inclinação são usadas para determinar se os indicadores atenderam às premissas de normalidade (Kline, 2005). As medidas de curtose ajudam a identificar se uma curva é normal ou de formato anormal. Se uma curva normal é leptocúrtica, a curva é altamente arqueada na média com caudas curtas. As curvas platicúrticas, por outro lado, são mais planas do que o normal, com um pico mais baixo e caudas mais longas. Uma curva inclinada é positiva ou negativamente inclinada. Curvas com inclinação positiva mostram a maioria das pontuações abaixo da média, e curvas com inclinação negativa são exatamente o oposto. Ambas as curvas resultam em uma curva normal assimétrica. Tanto a inclinação quanto a curtose podem ser analisadas por meio de estatísticas descritivas. Os valores aceitáveis ​​de assimetria situam-se entre - 3 e + 3, e a curtose é apropriada em um intervalo de - 10 a + 10 ao utilizar SEM (Brown, 2006). Os valores que caem acima ou abaixo dessas faixas são suspeitos, mas SEM é um método analítico bastante robusto, portanto, pequenos desvios podem não representar violações importantes das suposições. Outros tipos de análises podem ter valores de distorção ou curtose aceitáveis ​​mais baixos, portanto, os pesquisadores devem investigar suas análises planejadas para determinar as diretrizes de triagem de dados.


Simetria, assimetria e curtose

Nós consideramos uma variável aleatória x e um conjunto de dados S = <x1, x2,…, Xn> do tamanho n que contém valores possíveis de x. O conjunto de dados pode representar a população em estudo ou uma amostra retirada da população.

Olhando para S como representando uma distribuição, o distorção do S é uma medida de simetria enquanto curtose é uma medida do pico dos dados em S.

Simetria e assimetria

Definição 1: Nós usamos distorção como uma medida de simetria. Se a distorção de S é zero, então a distribuição representada por S é perfeitamente simétrico. Se a assimetria for negativa, a distribuição será inclinada para a esquerda, enquanto se a inclinação for positiva, a distribuição será inclinada para a direita (veja um exemplo na Figura 1 abaixo).

O Excel calcula a assimetria de uma amostra S do seguinte modo:

Onde é a média e s é o desvio padrão de S. Para evitar a divisão por zero, esta fórmula requer que n & gt 2.

Observação: When a distribution is symmetric, the mean = median, when the distribution is positively skewed the mean > median and when the distribution is negatively skewed the mean < median.

Excel Function: Excel provides the SKEW function as a way to calculate the skewness of S, i.e. if R is a range in Excel containing the data elements in S then SKEW(R) = the skewness of S.

Excel 2013 Function: There is also a population version of the skewness given by the formula

This version has been implemented in Excel 2013 using the function, SKEW.P.

It turns out that for range R consisting of the data in S = <x1, …, xn>, SKEW.P(R) = SKEW(R)*(n–2)/SQRT(n(n–1)) where n = COUNT(R).

Real Statistics Function: Alternatively, you can calculate the population skewness using the SKEWP(R) function, which is contained in the Real Statistics Resource Pack.

Example 1: Suppose S = <2, 5, -1, 3, 4, 5, 0, 2>. The skewness of S = -0.43, i.e. SKEW(R) = -0.43 where R is a range in an Excel worksheet containing the data in S. Since this value is negative, the curve representing the distribution is skewed to the left (i.e. the fatter part of the curve is on the right). Also SKEW.P(R) = -0.34. See Figure 1.

Figure 1 – Examples of skewness and kurtosis

Observação: SKEW(R) and SKEW.P(R) ignore any empty cells or cells with non-numeric values.

Definition 2: Kurtosis provides a measurement about the extremities (i.e. tails) of the distribution of data, and therefore provides an indication of the presence of outliers.

Excel calculates the kurtosis of a sample S as follows:

Onde is the mean and s is the standard deviation of S. To avoid division by zero, this formula requires that n > 3.

Observação: It is commonly thought that kurtosis provides a measure of peakedness (or flatness), but this is not true. Kurtosis pertains to the extremities and not to the center of a distribution.

Excel Function: Excel provides the KURT function as a way to calculate the kurtosis of S, i.e. if R is a range in Excel containing the data elements in S then KURT(R) = the kurtosis of S.

Observação: The population kurtosis is calculated via the formula

which can be calculated in Excel via the formula

Real Statistics Function: Excel does not provide a population kurtosis function, but you can use the following Real Statistics function for this purpose:

KURTP(R, excess) = kurtosis of the distribution for the population in range R1. Se excess = TRUE (default) then 3 is subtracted from the result (the usual approach so that a normal distribution has kurtosis of zero).

Example 2: Suppose S = <2, 5, -1, 3, 4, 5, 0, 2>. The kurtosis of S = -0.94, i.e. KURT(R) = -0.94 where R is a range in an Excel worksheet containing the data in S. The population kurtosis is -1.114. See Figure 1.

Observação: KURT(R) ignores any empty cells or cells with non-numeric values.

Graphical Illustration

We now look at an example of these concepts using the chi-square distribution.

Figure 2 – Example of skewness and kurtosis

Figure 2 contains the graphs of two chi-square distributions (with different degrees of freedom df) We study the chi-square distribution elsewhere, but for now note the following values for the kurtosis and skewness:


Why Is the Normal Curve So Important in Psychological Testing

In testing, the normal curve model is used in ways that parallel the distinction between descriptive and inferential statistics:

1. The normal curve model is used descriptively to locate the position of scores that come from distributions that are normal. In a process known as normalization, described in Chapter 3, the normal curve is also used to make distributions that are not normal—but approximate the normal—conform to the model, in terms of the relative positions of scores.

2. The normal curve model is applied inferentially in the areas of (a) reliability, to derive confidence intervals to evaluate obtained scores and differences between obtained scores (see Chapter 4), and (b) validity, to derive confidence intervals for predictions or estimates based on test scores (see Chapter 5).

modelo. The manner and extent to which they deviate from it has implications with regard to the amount of information the distributions convey. An extreme case can be illustrated by the distribution that would result if all values in a set of data occurred with the same frequency. Such a distribution, which would be rectangular in shape, would imply no difference in the likelihood of occurrence of any given value and thus would not be useful in making decisions on the basis of whatever is being measured.

A different, and more plausible, type of deviation from the normal curve model happens when distributions have two or more modes. If a distribution is bimodal, or multimodal, one needs to consider the possibility of sampling problems or special features of the sample. For example, a distribution of class grades in which the peak frequencies occur in the grades of A and D, with very few B or C grades, could mean that the students in the class are atypical in some way or that they belong to groups that differ significantly in preparation, motivation, or ability level. Naturally, information of this nature would almost invariably have important implications in the case of this example, it might lead a teacher to divide the class into sections and use different pedagogical approaches with each.

Two other ways in which distributions may deviate from the normal curve model carry significant implications that are relevant to test data. These deviations pertain to the properties of the kurtosis and skewness of frequency distributions.

Kurtosis

This rather odd term, which stems from the Greek word for convexity, simply refers to the flatness or peakedness of a distribution. Kurtosis is directly related to the amount of dispersion in a distribution. Platykurtic distributions have the greatest amount of dispersion, manifested in tails that are more extended, and lep-tokurtic distributions have the least. The normal distribution is mesokurtic, meaning that it has an intermediate degree of dispersion.


Bounds on skew and kurtosis of IQ - Psychology

Skewness is a measure of symmetry, or more precisely, the lack of symmetry. A distribution, or data set, is symmetric if it looks the same to the left and right of the center point.

Kurtosis is a measure of whether the data are heavy-tailed or light-tailed relative to a normal distribution. That is, data sets with high kurtosis tend to have heavy tails, or outliers. Data sets with low kurtosis tend to have light tails, or lack of outliers. A uniform distribution would be the extreme case.

The skewness for a normal distribution is zero, and any symmetric data should have a skewness near zero. Negative values for the skewness indicate data that are skewed left and positive values for the skewness indicate data that are skewed right. By skewed left, we mean that the left tail is long relative to the right tail. Similarly, skewed right means that the right tail is long relative to the left tail. If the data are multi-modal, then this may affect the sign of the skewness.

Some measurements have a lower bound and are skewed right. For example, in reliability studies, failure times cannot be negative.

Which definition of kurtosis is used is a matter of convention (this handbook uses the original definition). When using software to compute the sample kurtosis, you need to be aware of which convention is being followed. Many sources use the term kurtosis when they are actually computing "excess kurtosis", so it may not always be clear. Exemplos The following example shows histograms for 10,000 random numbers generated from a normal, a double exponential, a Cauchy, and a Weibull distribution.

Normal Distribution The first histogram is a sample from a normal distribution. The normal distribution is a symmetric distribution with well-behaved tails. This is indicated by the skewness of 0.03. The kurtosis of 2.96 is near the expected value of 3. The histogram verifies the symmetry. Double Exponential Distribution The second histogram is a sample from a double exponential distribution. The double exponential is a symmetric distribution. Compared to the normal, it has a stronger peak, more rapid decay, and heavier tails. That is, we would expect a skewness near zero and a kurtosis higher than 3. The skewness is 0.06 and the kurtosis is 5.9. Cauchy Distribution The third histogram is a sample from a Cauchy distribution.

For better visual comparison with the other data sets, we restricted the histogram of the Cauchy distribution to values between -10 and 10. The full data set for the Cauchy data in fact has a minimum of approximately -29,000 and a maximum of approximately 89,000.

The Cauchy distribution is a symmetric distribution with heavy tails and a single peak at the center of the distribution. Since it is symmetric, we would expect a skewness near zero. Due to the heavier tails, we might expect the kurtosis to be larger than for a normal distribution. In fact the skewness is 69.99 and the kurtosis is 6,693. These extremely high values can be explained by the heavy tails. Just as the mean and standard deviation can be distorted by extreme values in the tails, so too can the skewness and kurtosis measures. Weibull Distribution The fourth histogram is a sample from a Weibull distribution with shape parameter 1.5. The Weibull distribution is a skewed distribution with the amount of skewness depending on the value of the shape parameter. The degree of decay as we move away from the center also depends on the value of the shape parameter. For this data set, the skewness is 1.08 and the kurtosis is 4.46, which indicates moderate skewness and kurtosis. Dealing with Skewness and Kurtosis Many classical statistical tests and intervals depend on normality assumptions. Significant skewness and kurtosis clearly indicate that data are not normal. If a data set exhibits significant skewness or kurtosis (as indicated by a histogram or the numerical measures), what can we do about it?

One approach is to apply some type of transformation to try to make the data normal, or more nearly normal. The Box-Cox transformation is a useful technique for trying to normalize a data set. In particular, taking the log or square root of a data set is often useful for data that exhibit moderate right skewness.


3 respostas 3

heard [. ] that a high positive kurtosis of residuals can be problematic for accurate hypothesis tests and confidence intervals (and therefore problems with statistical inference). Is this true and, if so, why?

For some kinds of hypothesis test, it's true.

Would a high positive kurtosis of residuals not indicate that the majority of the residuals are near the residual mean of 0 and therefore less large residuals are present?

It looks like you're conflating the concept of variance with that of kurtosis. If the variance were smaller, then a tendency to more small residuals and fewer large residuals would come together. Imagine we hold the standard deviation constant while we change the kurtosis (so we're definitely talking about changes to kurtosis rather than to variance).

Compare different variances (but the same kurtosis):

with different kurtosis but the same variance:

A high kurtosis is in many cases associated with more small deviations from the mean $^ddagger$ -- more small residuals than you'd find with a normal distribution .. but to keep the standard deviation at the same value, we must also have more grande residuals (because having more small residuals would make the typical distance from the mean smaller). To get more of both the big residuals and small residuals, you will have fewer "typical sized" residuals -- those about one standard deviation away from the mean.

$ddagger$ it depends on how you define "smallness" you can't simply add lots of large residuals and hold variance constant, you need something to compensate for it -- but for some dado measure of "small" you can find ways to increase the kurtosis without increasing that particular measure. (For example, higher kurtosis doesn't automatically imply a higher peak as such)

A higher kurtosis tends to go with more large residuals, even when you hold the variance constant.

[Further, in some cases, the concentration of small residuals may actually lead to more of a problem than the additional fraction of the largest residuals -- depending on what things you're looking at.]

Anyway, let's look at an example. Consider a one-sample t-test and a sample size of 10.

If we reject the null hypothesis when the absolute value of the t-statistic is bigger than 2.262, then when the observations are independent, identically distributed from a normal distribution, and the hypothesized mean is the true population mean, we'll reject the null hypothesis 5% of the time.

Consider a particular distribution with substantially higher kurtosis than the normal: 75% of our population have their values drawn from a normal distribution and the remaining 25% have their values drawn from a normal distribution with standard deviation 50 times as large.

If I calculated correctly, this corresponds to a kurtosis of 12 (an excess kurtosis of 9). The resulting distribution is much more peaked than the normal and has heavy tails. The density is compared with the normal density below -- you can see the higher peak, but you can't really see the heavier tail in the left image, so I also plotted the logarithm of the densities, which stretches out the lower part of the image and compresses the top, making it easier to see both the peak and the tails.

o real significance level for this distribution if you carry out a "5%" one-sample t-test with $n=10$ is below 0.9%. This is pretty dramatic, and pulls down the power curve quite substantially.

(You'll also see a substantive effect on the coverage of confidence intervals.)

Note that a different distribution with the same kurtosis as that will have a different impact on the significance level.

So why does the rejection rate go down? It's because the heavier tail leads to a few large outliers, which has slightly larger impact on the standard deviation than it does on the mean this impacts the t-statistic because it leads to more t-values between -1 and 1, in the process reducing the proportion of values in the critical region.

If you take a sample that looks pretty consistent with having come from a normal distribution whose mean is just far enough above the hypothesized mean that it's significant, and then you take the observation furthest above the mean and pull it even further away (that is, make the mean even larger than under $H_0$ ), you actually make the t-statistic menor.

Let me show you. Here's a sample of size 10:

Imagine we want to test it against $H_0: mu=2$ (a one-sample t-test). It turns out that the sample mean here is 2.68 and the sample standard deviation is 0.9424. You get a t-statistic of 2.282 -- just in the rejection region for a 5% test (p-value of 0.0484).

Now make that largest value 50:

Clearly we pull the mean up, so it should indicate a difference even more than it did before, right? Well, no, it doesn't. The t-statistic goes baixa. It is now 1.106, and the p-value is quite large (close to 30%). O que aconteceu? Well, we did pull the mean up (to 7.257), but the standard deviation shot up over 15.

Standard deviations are a bit more sensitive to outliers than means are -- when you put in an outlier, you tend to push the one-sample t-statistic toward 1 or -1.

If there's a chance of several outliers, much the same happens only they can sometimes be on opposite sides (in which case the standard deviation is even more inflated while the impact on the mean is reduced compared to one outlier), so the t-statistic tends to move closer to 0.

Similar stuff goes on with a number of other common tests that assume normality -- higher kurtosis tends to be associated with heavier tails, which means more outliers, which means that standard deviations get inflated relative to means and so differences you want to pick up tend to get "swamped" by the impact of the outliers on the test. That is, low power.


‘s’ Possession and ‘of’ Possession

Possessive nouns are used in different ways to express different meanings. The most common uses are expressing

  1. Possession or ownership: The family’s dog.
  2. Association: Archer’s office,
  3. Action: Lana’s determination to shoot Archer.
  4. Measurement: The train’s delay,
  5. Characteristics of something: Lana’s Black Hair.

Often the preposition ‘of’ may serve an alternative to ‘s’ possessives. As I have said in my previous articles, repetitive sentence formate makes your writing dull. So it’s a good idea to switch between ‘s’ possessive and ‘of’ possessives. To do that, at first we need to know when we can use ‘of’ possessives in the right manner.

  1. Possession: To express ownership it’s always preferable to use the s possessive. For example, ‘Archer’s gun’ is preferred to ‘The gun of Archer,
  2. Associations: When the possessive noun is animate always s possessives. Por exemplo. Archer’s Mother, Lana’s Baby, Kriger’s holographic girlfriend. But when the possessive noun is inanimate both s possessives and of possessives can be used. Por exemplo. The university’s area, Area of the university.
  3. Attribution: Like the case of the association, here also use only s possessives for animate nouns. For inanimate nouns, both ‘s’ possessives and ‘of’ possessives can be used.

For Example: Danny’s White Hair. (Animate Possessive Noun) The university’s garage. (Inanimate Possessive Noun) The garage of the university. (Inanimate Possessive Noun)

  • 4. Action & Measurement: You can use both ‘s’ possessions and ‘of’ possessions to state somebody’s action.

“Archer’s revenge rampage for his butler” or “The revenge rampage of Archer for his butler”
Similarly for expressing measurement both types of possessions can be used.
“The Onion’s Increasing rate has made the people very upset.” (‘s’ possessions)

” The increasing rate of the onion has made the people very upset.” ( ‘of’ Possessions.)

Reference:Lester, M. (2011). Advanced English grammar for ESL learners. Nova York: McGraw-Hill.


Discussão

The traditional standard errors for skewness and kurtosis printed by many statistics packages are very poor. While they are appropriate for normal distributions, deviations from normality, like a t distribution with df = 5 or a mixture of two normal curves with different standard deviations, produce standard errors that can be 5 times too small. Because normal distributions are rare in psychology (Micceri, 1989), the practice of encouraging the use of standard errors that are grossly in error with deviations from normality by printing them in statistics packages should be stopped. The function , written for this article, produces the bootstrap standard errors, BCa confidence intervals, and standard errors, which take into account characteristics of the distributions.

One question is whether the traditional standard errors can be used if you are using this only to test whether the distribution is normal. This approach is not recommended for at least two reasons. First, there are several better tests that are designed to test normality, such as the Shapiro and Wilk test (1965), and are available in many statistics packages. Testing skewness and kurtosis, individually, is problematic because they are dependent on each other, so rather than simply following the textbook approach, tests like D'Agostino's test (D'Agostino, Belanger, & D'Agostino, 1990) could be used. Second, because the traditional standard errors both under- and overestimate the true standard errors, you would not know whether the statistical test was liberal or conservative without guessing about the distribution. One method for guessing about the distribution is to take thousands of resamples of the observed distribution, which is what bootstrapping does.

The problems with the standard errors shown in this article are due to the use of the third and fourth moments to calculate skewness and kurtosis. These are very sensitive to deviations in the tails of the distributions and are not sensitive to deviations in the peaks of the distributions (Lindsay & Basak, 2000). Seier and Bonett (2003) discussed formulae that allow the user to vary the relative influence of deviations in the tails and the peak of a distribution, but these are not commonly used. The transformation described by Anscombe and Glynn (1983) can also be used. A function is described in the Appendix that uses this, but it is also not widely used. If skewness and kurtosis are operationalized in other ways, the impact of extreme points can be lessened. Balanda and MacGillivray (1988) discussed several ways in which quartiles could be used for operationalizing these statistics that would be less influenced by extreme points. One of the most promising is eu-moments (Hosking, 1992). Hosking shows how skewness and kurtosis measures based on these are more consistent with the Shapiro–Wilk test of normality. These can be adjusted, for example, by trimming, which further increases their robustness (Elamir & Seheult, 2003). In time, these alternative methods may become more popular, but dramatically changing the statistics for measuring them would also change the meaning of skewness and kurtosis. Therefore, it is unlikely that these alternatives will become widespread in the near future.

The main recommendations from this article are that researchers should be careful when using traditional measures of standard error for skewness and kurtosis. Bootstrap confidence intervals can be used, but researchers should be aware that these may still be in error. For testing whether a distribution is of a certain shape, tests designed specifically for this purpose should be used. Methods based on transformations of the moments and eu-moments should be considered.


Using Secondary Datasets to Understand Persons with Developmental Disabilities and their Families

4.1 Kurtosis and Skew

Measures of kurtosis and skew are used to determine if indicators met normality assumptions ( Kline, 2005 ). Measures of kurtosis help identify if a curve is normal or abnormally shaped. If a normal curve is leptokurtic, the curve is highly arched at the mean with short tails. Platykurtic curves, on the other hand, are flatter than normal with a lower peak and longer tails. A skewed curve is either positively or negatively skewed. Positively skewed curves show the majority of scores below the mean, and negatively skewed curves are just the opposite. Both curves result in an asymmetrical normal curve. Both skew and kurtosis can be analyzed through descriptive statistics. Acceptable values of skewness fall between − 3 and + 3, and kurtosis is appropriate from a range of − 10 to + 10 when utilizing SEM ( Brown, 2006 ). Values that fall above or below these ranges are suspect, but SEM is a fairly robust analytical method, so small deviations may not represent major violations of assumptions. Other types of analyses may have lower acceptable skew or kurtosis values so researchers should investigate their planned analysis to determine data screening guidelines.


Bounds on skew and kurtosis of IQ - Psychology

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Kurtosis does not measure anything about the "peak" as was historically reported. Rather, it is a measure of whether there are outliers (ie, rare extreme values) in the data. These show up in graphs as one or a very few points that are very far from the main body of the data. anon342994 July 26, 2013

Can anyone help me understand skewed distribution for my presentation. I can't seem to understand about graphs.

In my stats class today, the teacher mentioned that curves can have different levels of skewness and kurtosis. She didn't go into any real detail explaining what this is, especially kurtosis.

Could someone give me a brief explanation to help point me in the right direction as to what kurtosis means? titans62 July 14, 2011

@cardsfan27 - Great examples. I'm not sure why I couldn't think of those. When I was thinking of something like population that would have a right skewed distribution. There are many more young people than there are old people. I guess something else could be the size of trees in a forest. There are hundreds of seedlings and saplings for every tree that is fully grown.

I did some more research on the curves with two high points. They are called bimodal distributions. All of the examples I found were similar to yours and involved height or weight. I would be interested to hear more of them, though. cardsfan27 July 13, 2011

@titans62 - I'm having the opposite problem! All I can think of are things that have a normal distribution, but are not skewed. Some of the things I'm thinking of that would be a normal bell shape are height and weight of the population. Test scores are also a stereotypical bell curve example.

Your second question had me stumped for a few minutes, but I think I've got an example. This might be a little far fetched, but maybe someone else has a better one. If you took 25 men and 25 women, and then took their weights. You could assume that the men are going to weigh more on average than the women, so if you graphed the weights, you might find that the women make a peak lower on the scale, and men make a peak farther up. I hope that made sense. titans62 July 13, 2011

Can someone help me -- I understand what a bell curve looks like, but for whatever reason, I can't think of anything that would have that shape. Everything I am thinking of would have a skewed distribution where one tail was longer than the other.

Another related question - would it ever be possible for a curve to have two high spots compared to the curve going up and coming back down in a normal bell curve? Emilski July 12, 2011

It seems counter intuitive that a positively skewed distribution would have a tail going to the right. I would have guessed that the positive and negative was determined by where the highest point of the curve was.


Assista o vídeo: FBNET. Dn7 - Calculando a aceleração de um corpo num plano inclinado sem atrito (Novembro 2021).